Gravitation als Motor unseres Sonnensystems

Was ist Gravitation?

Gravitation ist eine fundamentale Wechselwirkung zwischen Massen. Sie beschreibt die universelle Anziehung zwischen allen Objekten mit Energie bzw. Masse.

1. Grunddefinition der Gravitation

Newtonsche Gravitation

Die klassische Beschreibung lautet: $\boxed{F_{12} = G \dfrac{m_1 m_2}{r_{12}^2}}$

In Vektorschreibweise: $\boxed{\vec{F}_{12} = G \dfrac{m_1 m_2}{r_{12}^3}\vec{r}_{12}}$

• $F_{12}$: Gravitationskraft von Masse 1 auf Masse 2
• $G \approx 6.674 \cdot 10^{-11} \, \mathrm{m^3 \, kg^{-1} \, s^{-2}}$
• $m_1, m_2$: Massen
• $\vec{r}_{12}$: Abstand und Richtung der Schwerpunkte beider Massen

👉 Eigenschaften:

• immer anziehend
• wirkt entlang der Verbindungslinie
• folgt einem $1/r^2$-Gesetz

2. Eigenschaften der Gravitation

2.1 Universalität

Gravitation wirkt zwischen allen Massen.

Beispiele:

• 👉 Kraft zwischen zwei Menschen (extrem schwach) : $F_{Mensch-Mensch} = $
• 👉 Kraft zwischen Erde–Apfel : $F_{Erde-Apfel} = $
• 👉 Kraft zwischen Apfel-Erde : $F_{Erde-Apfel} = $
• 👉 Kraft zwischen Erde–Mond : $F_{Erde-Mond} = $
• 👉 Kraft zwischen Mond-Erde : $F_{Erde-Mond} = $
• 👉 Kraft zwischen Sonne und Erde : $F_{Erde-Mond} = $
• 👉 Kraft zwischen Schwarzem Loch($100$ Sonnenmassen) und Sonne : $F_{BH-Sonne} = $
• 👉 Kraft zwischen zwei umkreisenden Schwarzen Löchern mit $100$ Sonnenmassen : $F_{BH-BH} = $

2.2 Langreichweitige Kraft

• Reichweite: unendlich
• keine Abschirmung möglich

👉 Beispiel:

• Gravitation wirkt bis zu Galaxienentfernungen
• Planeten beeinflussen sich gegenseitig (Störungsrechnung)

2.3 Superpositionsprinzip

Gesamtkraft ist Summe aller vektoriellen Einzelkräfte: $\boxed{\vec{F}_{\text{gesamt}} = \sum\limits_i \vec{F}_i}$

👉 Beispiel:

• Satellit wird gleichzeitig von Erde, Mond und Sonne angezogen
• Wasser der Erde wird gleichzeitig von Sonne, Mond und Erde angezogen (Springfluten!)

2.4 Zentral- und konservative Kraft

Gravitation ist eine Zentralkraft:
- Kraft parallel zum Wirkrichtung : $\vec{F}(\vec{r}) \parallel \vec{r}$
- $\vec{F}(\vec{r})$ ist konservativ
$\Rightarrow$ es existiert ein Potential: $\boxed{U(r) = - G \dfrac{m_1 m_2}{r}}$

👉 Eigenschaften:

• Energieerhaltung gilt
• verrichtete Arbeit zwischen zwei Orten ist vom Weg unabhängig

👉 Beispiel:

• Satellit in elliptischer Bahn $\rightarrow$ Gesamtenergie konstant und damit
• aktuelle Summe aus kinetischer Energie und potentieller Energie konstant

2.5 Gravitationsfeld

Definition: $~~\boxed{\vec{g}(\vec{r}) = \dfrac{\vec{F}}{m}}$

Für eine Punktmasse gilt:
- konstantes Schwerefeld der Erde (gilt nur auf Meeresniveau!):
Erdbeschleunigung: $~~~\boxed{g(R_{erde}) = G \dfrac{M}{R_{erde}^2} = 9.81 m/s^2}$
- ortsabhängiges Schwerefeld der Erde:
$~~~\boxed{g(r) = G \dfrac{M}{r^2}}$

2.6 äquivalenzprinzip

(beschleunigte) träge Masse und (gewogene) schwere Masse sind gleich: $\boxed{m_{\text{träge}} = m_{\text{schwere}}}$

👉 Konsequenz:

• alle Körper fallen gleich schnell (ohne Luftwiderstand)

👉 Beispiel:

• Hammer und Feder auf dem Mond

2.7 Bahnbewegung (Kepler und Newton)

Gravitation liefert die Zentripetalkraft: $\boxed{\dfrac{m v^2}{r} = G \dfrac{M m}{r^2} \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{G M}{r}}}$

👉 Beispiel:

• Satellit um Erde
• Erde um Sonne

2.8 Fluchtgeschwindigkeit

Geschwindigkeit um das Schwerefeld einer Masse zu verlassen: $\boxed{v_{\text{esc}} = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}}$

👉 Beispiele:

• Erde: $\approx 11{,}2 \, \mathrm{km/s}$
• Mond: $\approx 2{,}4 \, \mathrm{km/s}$

2.9 Energie der Gravitation

Gesamtenergie: $\boxed{E = \dfrac{1}{2} m v^2 - G \dfrac{M m}{r}}$

👉 Interpretation:

• $E < 0$ $\rightarrow$ gebundene Bahn (Ellipse)
• $E = 0$ $\rightarrow$ Parabel
• $E > 0$ $\rightarrow$ Hyperbel

2.10 Allgemeine Relativitätstheorie ART(Einstein)

Gravitation ist keine Kraft, sondern:

👉 Krümmung der Raumzeit

Grundgleichung: $\boxed{G_{\mu\nu} = \dfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}}$

👉 Bedeutung:

• Masse/Energie krümmt Raumzeit
• Bewegung folgt Geodäten (entsprechend klassischen Bewegungsgleichungen)

👉 Beispiele:

• Lichtablenkung an der Sonne
• Gravitationswellen
• Schwarze Löcher

2.11 Gravitationszeitdilatation

Zeit unter Masseneinfluss vergeht langsamer als ohne: $~~\boxed{t_{\text{Nähe Masse}} < t_{\text{fern von Masse}}}$

👉 Beispiel:

• Zeit relativ zum Beobachter:
  
  • (Eigen-)Zeit im Schwerefeld des Schwarzen Lochs vergeht “normal”
  • Für einen aussen stehenden Beobachter vergeht die Zeit in Nähe eines schwarzen Lochs langsamer
• GPS-Satelliten müssen relativistische Korrekturen berücksichtigen

2.12 Extrem schwache Wechselwirkung

Vergleich: $\boxed{\dfrac{F_{\text{Gravitation}}}{F_{\text{Elektromagnetisch}}} \sim 10^{-36}}$

👉 Beispiel:

• Proton–Proton Wechselwirkung mit Vergleich Gravitationskraft und Elektromagnetischer Kraft

3. Typische Beispiele

3.1 Fallbewegung auf der Erde

Im Schwerefeld der Erde gilt (näherungsweise für kleine Höhen):

• Beschleunigung : $a = g$
• Geschwindigkeit : $v = g t$
• Ort : $s = \dfrac{1}{2} g t^2$

3.2 Kreisbahn einer rotierenden Masse

$v = \sqrt{GM/r}$

3.3 Planetenbewegung

Keplersche Gesetze: $T^2 \propto r^3$

3.4 Schwarze Löcher

Schwarzschildradius: $r_s = \dfrac{2GM}{c^2}$

4. Zusammenfassung

Eigenschaft	Beschreibung
Universal	wirkt zwischen allen Massen
Attraktiv	wirkt immer anziehend
Langreichweitig	mit $1/r^2$ unendliche Reichweite
Konservativ	Energieerhaltung: $E_{gesamt} = E_{kinetisch} + E_{potentiell} = C$
Zentral	Kraft entlang Verbindung zweier Massen, Vektor
Relativistisch	Raumzeitkrümmung durch ART
Schwach	schwächste fundamentale Kraft